2025 Spring / 2025.03.25.
유리수 위에서 정의된 함수
초록
고등학교에서 함수의 극한 및 연속을 정의할 때, “한없이”라는 단어를 사용해 모호하게 정의하고 넘어갑니다. 물론 고등학교에서 학습할 때나 문제를 풀 때엔 그렇게 큰 문제가 발생하지 않지만, 굉장히 특이한 함수를 다룰 때엔 “한없이”라는 단어의 이미지를 떠올리기가 어려워지게 됩니다. 이런 상황에서는 함수의 극한을 어떻게 생각을 할 수 있는지 보여드리고 싶어 이 주제를 선택했습니다. 또한, 기존에 실수 집합 위에서만 생각해왔던 연속을 좀 더 작은 집합인 유리수 집합나 다른 집합에서도 생각할 수 있는지, 할 수 있다면 어떻게 할 수 있는지 등을 얘기해보자 합니다.
이번 세미나를 통해 유리수 위에서 정의된 함수와 이외의 다른 함수들을 통해 함수의 연속성에 대해 이해하는 것이 가장 큰 목표입니다. 그러기 위해 우선 극한의 엄밀한 정의인 엡실론 덽타 논법의 직관적인 이해와 이를 통한 연속의 정의를 이해하는 것이 목표입니다. 또한, 거리가 주어지지 않은 집합에 대해서도 어떻게 연속함수를 정의할 수 있는지에 대해 알아보는 것이 마지막 목표입니다.
연속함수를 엄밀하게 정의함으로써 직관과 충돌하는 점이 많이 흥미롭습니다. 또한, 잘 정의만 된다면, 자유로운 상황을 얼마든지 상상할 수 있다는 점 또한 흥미로울 예정입니다.
이 주제에 대해 가벼우면서도 중요한 점들을 많이 준비했으니, 즐겁게 들어주시면 감사하겠습니다.
Abstract
In high school, limits and continuity are often introduced somewhat vaguely using expressions like “approaching indefinitely.” While this does not usually cause major issues when solving standard problems, it becomes difficult to rely on such intuition when dealing with more unusual or pathological functions. For this reason, I chose this topic to explore how we can think about limits in a more precise way. In addition, I would like to discuss whether the notion of continuity—typically considered on the real numbers—can also be defined on smaller sets such as the rational numbers, or even on more general sets, and if so, how.
The main goal of this seminar is to develop an understanding of continuity through functions defined on the rational numbers and other related examples. To achieve this, we will first build an intuitive understanding of the rigorous definition of limits via the epsilon–delta method, and use it to define continuity. Finally, we will explore how to define continuous functions even on sets where no notion of distance is given.
One of the most interesting aspects of defining continuity rigorously is that it often leads to results that conflict with our intuition. At the same time, once the definitions are properly established, it becomes possible to imagine and work within a wide variety of abstract settings, which is also quite fascinating.
I have prepared this seminar to be both accessible and rich in important ideas, so I hope you will enjoy it and find it engaging!
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