2025 Spring / 2025.06.04.
p-진수와 Hasse-Minkowski 정리
초록
우리는 어릴 때부터 다항방정식을 풀어왔습니다. 다항방정식을 풀다보면, 그 방정식이 유리수 근을 가지는지 궁금할 때가 종종 있습니다. 하지만 다항방정식이 유리수 근을 가지는지 판별하는 것은 쉽지 않은 문제입니다. 이러한 문제들을 공략하기 위해 새로운 수 체계인 p-adic number를 소개하고, 특정 다항식에 대해서 위의 문제에 대한 동치 조건을 제시해주는 Hasse-Minkowski Theorem에 대해 소개하고자 주제를 선택하게 되었습니다.
첫 날에는 왜 우리가 방정식의 근의 존재성을 판별하고자 새로운 수 체계를 도입하려 하는지를 소개하려고 합니다. (Z[x]에서 해를 찾을 때, 두가지 자연스러운 질문이 떠오릅니다.) 그러면서 Q[x]의 해를 구하는 방향으로 p-adic number를 소개하고 그 구조를 알아볼 예정입니다.
둘째 날엔 전날 배운 p-adic number에 이어서 Hilbert symbol등을 이용해 quadratic form에 대한 local global principle인 Hasse-Minkowski theorem을 소개하고 예시들을 알아볼 예정입니다.
실수가 아닌 수 체계에서도 해석학과 대수학을 할 수 있다는 점과, 특정 문제를 다른 체계로 변환시켰을 때 간단한 문제로 변환될 수 있다는 점이 흥미롭습니다. 또한 특정 이차 유리계수 방정식에 우리가 어떤 시도를 할 수 있는지 알 수 있습니다.
이번 세미나의 내용은 추후에 local field나 class field theroy와 같은 깊은 과목을 공부할 때 기본적인 예시가 됩니다. 또한, 밑의 렉쳐노트에서 보라색 형광펜으로 색칠한 부분에 관해 생각하고 오시면, 세미나를 이해하는 데에 도움이 됩니다.
Abstract
We have been solving polynomial equations since childhood. While doing so, we often wonder whether a given polynomial has rational roots. However, determining whether a polynomial has rational solutions is not an easy problem. To tackle this, I chose this topic to introduce a new number system—the p-adic numbers—and to present the Hasse–Minkowski Theorem, which provides equivalent conditions for this problem for certain polynomials.
On the first day, I will discuss why we are led to introduce a new number system in order to determine the existence of solutions to equations. (When trying to find solutions in Z[x], two natural questions arise.) From there, I will introduce p-adic numbers as a way to approach solutions in Q[x] and explore their structure.
On the second day, building on the p-adic numbers covered previously, I will introduce the Hasse–Minkowski Theorem—a local-global principle for quadratic forms—using tools such as the Hilbert symbol, along with several examples.
It is fascinating that we can do analysis and algebra over number systems other than the real numbers, and that certain problems can become much simpler when translated into a different framework. Additionally, this seminar will provide insight into what kinds of approaches we can take when working with quadratic equations with rational coefficients.
The material in this seminar will also serve as a foundational example for studying more advanced topics later on, such as local fields and class field theory. If you take some time beforehand to think about the parts highlighted in purple in the lecture notes below, it will help you better understand the seminar.
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