Mapping Class Group, Teichmuller Space, Moduli Space 입문

초록

"Hyperbolic metric structure가 무엇이고, 어떤 이야기를 할 수 있을까?"

Hyperbolic metric은 수학에서 중요한 metric structure입니다. 특히 수학자들은 어떠한 Hyperbolic metric structure를 주었는지, 또 Hyperbolic metric structure들간의 유사성이 있다면 이를 묶었을 때 어떠한 이야기들을 할 수 있는지 관심이 많았습니다.

Hyperbolic metric이 주어진 space에서는 어떠한 isometric한 motion들이 있는지 다룰겁니다. 또한 Surface들의 self-homeomorphism들을 isotopy class로 묶은 mapping class group을 다룰겁니다. 이후 surface에 줄 수 있는 모든 hyperbolic metric structure들 중에서 적당한 isotopy class와 관련있는 class들을 모은 Teichmuller space를 다루고, 이러한 Teichmuller space에서 Mapping Class Group으로 action을 취했을 때 같아지는 원소들을 다시 하나의 원소로써 모은 Moduli space를 소개할 예정입니다.

Abstract

"What is a hyperbolic metric structure, and what kinds of things can we say about it?"

Hyperbolic metrics are important metric structures in mathematics. In particular, mathematicians have long been interested in what kinds of hyperbolic metric structures can be given to a space, and what can be said when we group together hyperbolic metric structures that are similar in an appropriate sense.

In a space equipped with a hyperbolic metric, we first study the possible isometric motions. We then introduce the mapping class group, which is obtained by grouping the self-homeomorphisms of a surface into isotopy classes. After that, we consider the Teichmüller space, which consists of hyperbolic metric structures on a surface modulo an appropriate notion of isotopy. Finally, we introduce the moduli space, obtained by identifying elements of the Teichmüller space that become equivalent under the action of the mapping class group.