단순 호모토피 이론과 화이트헤드 군

초록

"당신도 푸앵카레 추측을 증명할 수 있습니다!!"

두 공간이 위상동형까지는 아니지만, 연속적으로 변형했을 때 두 공간이 같아진다면 우리는 homotopy equivalence가 있다고 합니다.

Homotopy equivalence가 위상동형만큼은 아니지만, 꽤나 강력한 조건입니다. Homotopy equivalence가 있다면 두 공간의 fundamental group이나 homology등 수많은 대수적 요소들이 같습니다. 이러한 homotopy equivalence 중에서도 특별한 관계인 Simple-homotopy equivalence를 소개할겁니다. Simple-homotopy equivalence는 두 공간의 CW-structure간의 관계성을 알려주고, 이외에도 많은 위상적 문제들을 쉽게 해결해줍니다.

또한 simple-homotopy equivalence의 존재성을 명확히 설명해주는 group인 Whitehead group을 소개할 예정입니다. 특히 Whitehead group을 이용해 simple homotopy equivalence와 homotopy equivalence간의 관계성에 관련한 재밌는 이야기를 준비했습니다.

Abstract

"You too can prove the Poincaré Conjecture!!"

If two spaces are not homeomorphic, but become identical after continuous deformation, we say that a homotopy equivalence exists between them.

A homotopy equivalence is not as strong as a homeomorphism, but it is still a fairly powerful condition. If a homotopy equivalence exists between two spaces, many algebraic invariants, such as the fundamental group and homology, coincide. Among such homotopy equivalences, we will introduce a special relationship called simple-homotopy equivalence. Simple-homotopy equivalence reveals the relationship between the CW-structures of two spaces, and it also makes many other topological problems easy to solve.

We will also introduce the Whitehead group, which clearly explains the existence of simple-homotopy equivalences. In particular, using the Whitehead group, we have prepared an interesting story about the relationship between simple-homotopy equivalence and homotopy equivalence.