Peter-Weyl 정리

초록

"L² : 와.. compact? 너 방금 날 네모나게 분해시켰어"

표현론은 군을 행렬로 나타내어 군 혹은 행렬이 작용하는 벡터공간을 연구하는 수학의 분과입니다. 표현이 정의된 벡터공간은 군의 대칭성을 반영하는 선형변환들의 묶음이 주어지고 이에 따라 벡터공간을 대칭성을 존중하는 조각들로 분해할 수 있습니다.

Peter-weyl theorem은 컴팩트군의 regular representation이 어떻게 대칭성을 반영하는 조각들로 분해되는지 알려줍니다. 놀랍게도 이는 푸리에 해석으로 귀결되는데, 이를 통해 일반적인 topological group 위에서의 푸리에 해석의 가능성이 열리게 됩니다.

Abstract

"L²: Whoa... compact? You just decomposed me into squares!"

Representation theory is a branch of mathematics that studies groups or vector spaces acted upon by matrices by representing groups as matrices. A vector space where a representation is defined is provided with a set of linear transformations reflecting the symmetries of the group, allowing the space to be decomposed into components that respect these symmetries.

The Peter-Weyl theorem describes how the regular representation of a compact group decomposes into these symmetry-reflecting components. Remarkably, this results in Fourier analysis, which opens up the possibility of performing Fourier analysis on general topological groups.