불확실성의 수학: 퍼지 집합 입문

초록

"1은 True, 0은 False… 그럼 0.7은 뭘까?"

수학은 명확함과 논리를 추구하지만, 우리가 살아가는 현실은 언제나 애매하고 불확실합니다. “덥다”, “가깝다”, “안전하다”처럼 명확히 구분되지 않는 개념들은 전통적인 참·거짓의 이분법만으로 설명하기 어렵습니다. 30도는 덥지만 29도는 안 덥다고 할 수 있을까요? 1965년 Zadeh는 이러한 애매함을 수학적으로 다루기 위해 퍼지집합을 제안했습니다. 참과 거짓 사이의 정도를 정의함으로써 현실의 모호함을 수량화한 것입니다.

본 세미나에서는 퍼지집합의 핵심 개념을 살펴본 뒤, 고전 집합론인 ZFC 공리계 안에서 퍼지 집합이 어떻게 정당화될 수 있는지 보입니다. 소속 함수(membership function)와 퍼지 연산에 대해 다루면서, 교집합과 합집합을 일반화한 t-norm과 t-conorm을 소개합니다. 이후 퍼지 제어 등의 응용 사례를 통해 ‘애매함’을 수학적으로 다루는 접근이 실제 문제 해결에 얼마나 유용한지 확인해볼 것입니다.

Abstract

"If 1 represents True and 0 represents False, then what would 0.7 represent?"

Mathematics seeks clarity and logical precision, but the reality we live in is often vague and uncertain. Concepts such as “hot,” “close,” and “safe” are difficult to describe using the traditional binary distinction of true and false. For example, can we really say that 30°C is hot but 29°C is not? In 1965, Lotfi A. Zadeh proposed fuzzy sets as a way to mathematically handle such vagueness. By defining degrees between truth and falsity, this approach allows us to quantify the ambiguity that appears in real-world situations.

In this seminar, we will first examine the core concepts of fuzzy sets and then show how fuzzy sets can be justified within the classical axiomatic system of set theory, Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice. We will discuss membership functions and fuzzy operations, introducing t-norms and t-conorms, which generalize the notions of intersection and union. Finally, through applications such as fuzzy control, we will explore how this mathematical treatment of ambiguity can be useful in solving real-world problems.