2025 Spring / 2025.03.11.
유클리드의 제5공준과 비유클리드 기하학
초록
첫 세미나인 만큼 쉽고 직관적이면서도 생각할 거리가 많은 주제를 선택했습니다. 특히 아직 많은 수학 이론을 배우지 않았더라도 스스로 고민해볼 요소가 충분하고, 수학 공부를 이어갈수록 더 많은 질문이 생기는 매력적인 주제라고 생각합니다.
이번 세미나는 특히 1학년 학우들을 위해 준비했습니다. 고등학교 수학과 대학교 수학이 매우 다르다는 이야기를 많이 들으셨을 텐데, 비록 일부이지만 대학교 수학이 어떤 흐름으로 전개되는지 느껴보실 수 있기를 바랍니다. 또한 세미나 중간중간 몇 가지 질문을 드릴 예정이니, 세미나 이후에도 이를 계속 고민하며 지적 유희를 즐겨보셨으면 합니다.
기원전부터 이어진 ‘기하’에 대한 수학자들의 고민과, 그 고민이 어떻게 이론의 발전으로 이어졌는지를 잘 보여주는 주제인 만큼, 세미나에서는 이러한 발전의 흐름을 함께 살펴볼 예정입니다. 위에서 말씀드렸듯 누구나 부담 없이 참여해 생각해볼 수 있는 내용으로 구성했습니다.
고등학교 때 책에서 삼각형의 세 각의 합이 180도가 아닐 수도 있다는 내용을 얼핏 본 기억이 있습니다. 당시에는 구 위에 삼각형을 그려보면 당연해 보여 깊이 생각하지 않았습니다. 그러나 군복학 이후 ‘기하학일반’ 강의를 들으며 생각이 크게 바뀌었습니다. 기원전부터 수학자들이 오랜 시간 고민하여 ‘기하’를 체계적이고 아름답게 만들어 왔다는 사실이 강하게 와닿았습니다. 이러한 즐거움을 세미나로 나누고 싶어, 2년 전 미믹 세미나에서 유재훈 연사가 같은 주제로 발표했음에도 다시 이 주제를 선택했습니다.
세미나를 준비하면서 저 역시 책을 다시 펼쳐보고 자료를 찾아보았습니다. ‘기하학일반’ 강의를 들을 때는 큰 고민 없이 넘어갔던 부분들이, 다시 보니 엄밀하지 않게 느껴져 더 깊이 확인하게 되었습니다. 온라인에서 충분한 설명을 찾기 어려워 직접 종이와 펜으로 도형을 하나씩 그려가며 다시 증명해 보았고, 단순해 보이지만 당연하지 않은 부분들을 이해하는 과정이 오래 걸려도 매우 흥미로웠습니다. 이 과정을 여러분도 함께 경험하실 수 있도록 중간 퀴즈를 준비했으니 즐겁게 참여해 주시기 바랍니다.
Abstract
Since this is our first seminar, I chose a topic that is easy and intuitive to approach, yet rich with questions worth thinking about. Even if you have not studied many advanced theories yet, there is plenty to explore on your own, and the more mathematics you study, the more fascinating questions this topic opens up.
This seminar is especially intended for first-year students. You have probably heard many times that university mathematics is very different from high-school mathematics. Although we can only see a small part of it here, I hope this session gives you a sense of how university-level mathematics develops. I will also raise several questions during the talk, and I hope you continue thinking about them afterward as a form of intellectual play.
This theme clearly shows how mathematicians have reflected on geometry since antiquity and how those reflections led to major theoretical developments. In the seminar, I will walk through that story of development. As noted above, the session is designed so that anyone can participate comfortably and think along.
I remember briefly reading in high school that the sum of a triangle’s three interior angles might not always be 180 degrees. At the time, drawing a triangle on a sphere made it seem obvious, so I did not think much more about it. However, after returning from military service and taking a course called “General Geometry,” my perspective changed significantly. I came to feel how deeply and beautifully mathematicians had built the field of geometry through long, careful thought over many centuries. I wanted to share that joy through this seminar, so I chose this topic again even though speaker Jaehoon Yoo had presented the same theme at a MIMIC seminar two years ago.
While preparing this seminar, I reopened textbooks and searched for references again. Some points I had previously passed over in “General Geometry” began to feel less rigorous when I revisited them, so I looked into them more carefully. Since clear explanations were not always easy to find online, I ended up taking paper and pen and drawing the figures one by one myself. Re-proving and understanding parts that look simple but are not trivial took time, but it was genuinely enjoyable. I included a mid-seminar quiz so that you can experience this process as well, and I hope you enjoy it.
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