오일러는 도형을 보고 무슨 생각을 할까? (그런데 위상을 섞은)

초록

"이 세미나를 듣고 오일러에게 일러바치시면 안됩니다…"

수학 천재 오일러는 모든 볼록 다면체에서 점 - 선 + 면 = 2가 성립함을 알아냈습니다. 그러나 구멍이 있어 점 - 선 + 면 ≠ 2가 되는 다면체들도 있습니다. 우리는 점 - 선 + 면을 ‘Euler Characteristic’이라고 부릅니다. 놀라운 사실은, 두 도형(공간)이 위상동형이면 Euler characteristic이 같다는 것입니다. 반대로 이야기하면 Euler characteristic이 다르면, 두 도형은 위상동형이 아닌 것이죠. 즉 여러분들은 도형의 점, 선, 면의 개수를 세서 머그잔과 축구공이 위상동형이 아닌 것을 증명할 수 있습니다. 오호리… 참 신기하죠? 자, 이제 점, 선, 면을 세러 가봅시다!

Abstract

Please do not tell Euler about this seminar…

The mathematical genius Euler discovered that, for every convex polyhedron, the number of vertices minus the number of edges plus the number of faces is equal to 2. However, there are also polyhedra with holes for which this quantity is not 2. We call the quantity vertices - edges + faces the Euler characteristic. Surprisingly, if two shapes (spaces) are homeomorphic, then they have the same Euler characteristic. Conversely, if two shapes have different Euler characteristics, they cannot be homeomorphic. In other words, by counting the vertices, edges, and faces of shapes, you can prove that a mug and a soccer ball are not homeomorphic. Ohhori… Isn’t that fascinating? Now, let us go count some vertices, edges, and faces!